Як вирішити показове рівняння з піфагорових числами?



+6 +/-

3 ^ x + 4 ^ x = 5 ^ x

Тема - показова функція.

Логарифми ще не вивчалися.

Відповідь очевидна, але як до нього прийти цим шляхом?

Профіль користувача Direction Запитав: Direction  (рейтинг 21962) Категорія: Технології

Відповідей: 2

1 +/-
Найкраща відповідь

Це рівняння має єдине рішення, що ні штука довести.

Розділимо обидві частини на праву (оскільки вона ніде не звертається в 0, це цілком допустимий дію). Вийде (3/5) ^ x + (4/5) ^ x = 1. Очевидно, що х = 2 є корінь даного рівняння. Дивимося на похідну лівої частини. Вона дорівнює ln0.6 Х 0,6 ^ x + ln0.8 * 0.8 ^ x. Обидва доданків негативні. Це означає, що ліва частина є вихідною функції є функція монотонна і всюди спадна. А значить, з якоїсь з теорем Вейєрштрасса, що якщо така функція приймає в якійсь точці певне значення, то відповідна точка єдина. Тобто є в точці х = 2 функція дорівнює 1, то ніде більше таке значення не виходить.

До речі, знання логарифмів тут не потрібно, крім хіба що того факту, що натуральний логарифм числа, меншого 1, негативний. А ось похідні знати потрібно.

Відповів на питання: Brants  
1 +/-

Спробую запропонувати графічне рішення. Запишемо рівняння в наступному вигляді S = 5 ^ x-3 ^ x-4 ^ x прорахуємо значення S для цілочисельних х від -5 до +5

х | S

-5 | -0,004771789

-4 | -0,014651929

-3 | -0,044662037

-2 | -0,133611111

-1 | -0,383333333

0 | -1

1 | -2

2 | 0

3 | 34

4 | 288

5 | +1858

(Можна прорахувати і для проміжних нецілочисельне значень, але це суті не змінить) будуємо графік (доведеться будувати з застосуванні інтерполяції для нецілочисельне значень) і отримуємо, що ліва частина графіка аналогічна гіперболи - нескінченно прагнучи до 0, а права як парабола різко йде вгору прагнучи до нескінченності. І перетин з віссю х виходить тільки в одному місці коли х = 2

Відповів на питання: Maudy