За північ або після опівночі? Як правильно пишеться? Яке правило?

За північ - прислівниковій вираз, пишеться окремо. Про це йдеться в орфографічному словнику Лопатина і в правилах Розенталя також. Була спроба перейти до злите написання в 2001 голу, але на не затвердили в правописі. Так що пишіть окремо і не сумнівайтеся, "помилку" в словниках першого десятиліття (тлумачних, орфоепічних і т.д.) з часом виправлять.