Скількома способами можна переставити 4 різних книги на книжковій полиці?

Такі завдання називаються комбінаторними. Їх треба вирішувати шляхом побудови схеми - дерева всіх можливих варіантів. Для прикладу спочатку вирішимо більш просту задачу про перестановки тільки з трьох елементів. Олексій (А), Борис (Б) і Віктор (В) купили 3 квитка на 1-е, 2-е і 3-е місця одного з рядів стадіону на хокейний матч Росія - Фінляндія на Олімпійських іграх в Сочі. Скількома способами вони можуть зайняти наявні місця? Рішення зазвичай проводиться за допомогою так званого дерева варіантів

Розібратися в цій схемі нескладно. Але можна вирішити цю задачу і з допомогою правила множення. На 1 місце може сісти будь-хто з хлопчиків. На 2 місце може сісти будь-який хлопчик з двох, що залишилися. А на 3 місце сідає останній хлопчик. За правилом множення у трьох хлопчиків є 3 * 2 * 1 = 6 варіантів зайняти свої місця.

А якщо хлопчиків (або книг в нашій задачі) четверо? Скількома способами вони можуть зайняти свої місця? Додайте до наведеного малюнку четвертого хлопчика Гену (Г). Проробіть це самі, це нескладно зробити. Відповідь буде таким 4 * 3 * 2 * 1 = 24. А якщо хлопчиків 5? Аналогічно розмірковуючи, отримаємо, що число перестановок дорівнюватиме 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 60. Для 10 хлопчиків відповідь такої 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = (порахуйте самі ).

Тут ми бачимо певну закономірність.

Якщо ми маємо n елементів (хлопчиків), то скільки перестановок можна з них зробити? Легко здогадатися, якою буде відповідь

Pn = n * (n-1) * ... * 1 = n! способів. Тобто Pn = n!

Тут Р взято з французького слова permutation - перестановка. Знак питання ! тут отримав назву Факторіал.

Отже, якщо у нас 4 книги, то відповідь буде такою Pn = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способи.