Суть закону великих чисел?



+10 +/-
Профіль користувача Taha Запитав: Taha (рейтинг 4446) Категорія: Філософія

Відповідей: 1

1 +/-

Закон великих чисел дозволяє встановити нову точку зору на вірогідність випадкових подій і математичне сподівання випадкової величини.

Суть закону великих чисел полягає в тому, що конкретні особливості кожного окремого випадкового явища майже не позначаються на середньому результаті безлічі таких явищ, випадкові відхилення від середнього, неминучі в кожному окремому випадку, в масі таких випадків майже завжди взаємно погашаються і вирівнюються.

Для доказу закону великих чисел нам буде потрібно Лемма (нерівність Чебишева).

Якщо існує M (X2), то для довільного t> 0 Зокрема, якщо існує M (X), то Доказ.

Нехай X - дискретна випадкова величина. де - значення випадкової величини X.

Якщо X -безперервні випадкова величина з щільністю розподілу f (x), то Поділивши ці нерівності на t2, одержимо перше твердження леми.

Якщо перша нерівність леми застосувати до випадкової величиною X - MX, то вийде друга нерівність. ?

Теорема 2. Закон великих чисел у формі Чебишева.

Нехай - послідовність взаємно-незалежних однаково розподілених випадкових величин.

Якщо m = M (Xk) і існують, то для будь-якого? > 0 при Інакше кажучи, ймовірність того, що середнє випадкових величин X1, X2, ...., Xn буде відрізнятися від математичного очікування менше, ніж на довільно заданий?, Прагне до 1. Доказ. Оскільки X1, X2, ..., Xn - взаємно-незалежні, Застосуємо нерівність Чебишева до середнього При права частина прагне до 0, що і доводить теорему. ?

Зауваження. C допомогою нерівності Чебишева також легко довести, що якщо задана нескінченна послідовність випадкових величин X1, X2, ..., Xn, ... (Xi і Xj незалежні для будь-яких i і j), то для будь-якого? > 0 при (теорема Маркова). Приклад 4. Петербурзька гра.

Гравець платить внесок А рублів за участь в одній партії, яка складається з m підкидань монети.

Якщо перший раз герб випаде при r-му підкиданні, r = 1, 2, ..., m, гравець отримує за партію 2r рублів.

Якщо m раз випадає решка, гравець нічого не отримує. При якому внеску А гру можна вважати «несприятливої» для грального закладу? Нехай Xk - виграш в k-ой партії, k = 1, 2, .... Середній виграш в k-ой партії і дисперсія виграшу в k-ой партії конечна. Виграш від участі в n партіях складе, а внесок за n партій - n * m рублів. Згідно з теоремою 2, тобто Тобто майже завжди прибуток організаторів гри при внеску А = m мало відрізняється від нуля (в ту і іншу сторону), якщо число зіграних партій n велике. Цей результат не залежить від того, постійно число підкидань m в кожній партії чи може змінюватися за бажанням гравців. Згідно зауваженням до теоремі 2, при зростанні n сумарний виграш в n партіях прагне за ймовірністю до сумарного внеску за n партій, якщо внесок за k-ую партію дорівнює числу підкидань монети.? Таким чином, закон великих чисел дозволяє в більшості випадків розцінювати математичне сподівання випадкової величини, як середнє спостережуваних значень випадкової величини при великому числі реалізацій. Практичний підхід до ймовірності випадкової події обумовлює наслідок із закону великих чисел Теорема 3. Теорема Бернуллі. Частота настання події А в серії з n незалежних однакових випробувань (k / n) сходиться по ймовірності до ймовірності події А в кожному випробуванні (р) при Доказ. Нехай Xi - число наступів події А в i-том випробуванні. Тоді число наступів події А в n досвідах і частота настання події А Згідно з теоремою 2,

Відповів на питання: Anile