Як вивести формулу «H = Vot + gt ^ 2/2» за допомогою диференціального рівняння?

Ніяк, тому що вона невірна :). Перед gt? / 2 повинен стояти знак "мінус".

Ну а взагалі така формула виводиться з диференціального рівняння руху при дії постійної сили (другий закон Ньютона) і того факту, що прискорення є друга похідна від координати, звідки відразу отримуємо саме рівняння: d? X / dt? = Const? a (прискоренню). Якщо його переписати як d? X / dt? - А = 0, то отримуємо найпростіше однорідне диференціальне рівняння другого порядку (друга похідна дорівнює константі), очевидним рішенням якого буде поліном другого ступеня від t виду x (t) = at? / 2 + bt + c, де b і з - константи , які визначаються з початкових умов (швидкість і координата в момент t = 0). Той простий факт, що v (0) = Vo і x (0) = 0, якраз і дає ту саму формулу, яку потрібно вивести.