Що таке метрика? Що таке метричний простір?

Метрикою називається правило, за яким кожній парі точок деякого простору ставиться у відповідність деяке число, зване "відстанню" між цими точками, ЯКЩО а) таке правило можна сформулювати, і б) це правило дає однозначний результат для будь-яких двох точок. Підкреслю - однозначний, а не "однаковий".

При цьому повинні дотримуватися деякі допонітельние умови. Так, відстань між ними дорівнюватиме нулю тоді і тільки тоді, коли точки збігаються. Відстань не повинна залежати від того, яка точка вибрана "першій" (Тобто відстань від А до В дорівнює відстані від В до А). І відстань між двома точками завжди менше, або принаймні не більше, ніж сума відстаней від цих двох до якоїсь третьої.

Ну і якщо таке правило з усіма цими умовами для даного простору таки да, можна задати, то простір називається метричним.

Це все цілком вписується в звичну геометрію Евкліда, де метрика (правило обчислення відстані) збігається з теоремою Піфагора. Однак таке правило може мати і більш хитромудрий вид. наприклад, "манхеттенська метрика", Де відстані вимірюються не по гіпотенузі, а за сумою катетів (по Манхеттену інакше і не проїдеш ...). Таке правило задовольняє всім перерахованим вимогам, хоча і відрізняється від звичного нам визначення відстані "по прямій". Інший приклад - сфера, окремий випадок ріманова простору, де теж "нормальної" теоремою Піфагора і не пахне (там навіть аксіома паралельності Евкліда не виконується, там інша аксіома замість неї), але тим не менше відстані вимірюються цілком однозначно. Ми в такому просторі і живемо, особливо наочно це проявляється тоді, коли треба перелетіти з Калінінграда до Владивостока. Земля - ​​це, знаєте, кулька ...

Метрика може бути і локальної для даного простору. Це означає, що в деякій невеликій околиці обраної точки всі умови існування метрики виконуються, а ось для всього простору в цілому, або для "великий" його області, - вже немає. Це простір Загальної теорії відносності.