Два морських лайнера рухалися рівномірно, не змінюючи курсу. Штурмани звернули увагу на небезпечне зближення суден. Так спочатку відстань між кораблями становило 100 км. Через дві години воно зменшилося до 50 км, а ще через одну годину скоротилося до 30 км. На якій мінімальній відстані пропливуть лайнери один від одного, якщо зіткнення не відбудеться?
З огляду на, що відстані досить малі в порівнянні із земною кулею, будемо розглядати їх траєкторії на площині.
Тоді точка (0, 0) - початкове розташування одного лайнера, (х0, у0) - другого лайнера.
Будемо розглядати відносну систему координат, в якій положення першого лайнера незмінно перебуває в точці (0, 0), а положення другого змінюється як по х так і по у.
Швидкість по х = vx, швидкість по y = vy. Тоді положення другого лайнера - функція від часу t
x (t) = x0 + vx * t
y (t) = y0 + vy * t
Квадрат відстані між лайнерами s (t) = (x0 + vx * t) ^ 2 + (y0 + vy * t) ^ 2
Щоб знайти найменшу відстань, візьмемо похідну по t:
s '(t) = 2 * vx * x0 + 2 * (vx) ^ 2 * t + 2 * vy * y0 + 2 * (vy) ^ 2 * t = 0
Запишемо інші відомі дані, щоб система рівнянь була повною:
(X0) ^ 2 + (y0) ^ 2 = 10000
(X0 + vx * 2) ^ 2 + (y0 + vy * 2) ^ 2 = 2500
(X0 + vx * 3) ^ 2 + (y0 + vy * 3) ^ 2 = 900
Розкриємо дужки:
(X0) ^ 2 + 4 * x0 * vx + 4 * (vx) ^ 2 + (y0) ^ 2 + 4 * y0 * vy + 4 * (vy) ^ 2 = 2500
(X0) ^ 2 + 6 * x0 * vx + 9 * (vx) ^ 2 + (y0) ^ 2 + 6 * y0 * vy + 9 * (vy) ^ 2 = 900
Так як (x0) ^ 2 + (y0) ^ 2 = 10000, то:
x0 * vx + (vx) ^ 2 + y0 * vy + (vy) ^ 2 = -1875, звідки
(Vx) ^ 2 + (vy) ^ 2 = -1875 - x0 * vx - y0 * vy
Підставами в останнє рівняння системи:
10000 + (-1875 - x0 * vx - y0 * vy) * 9 + 6 * (x0 * vx + y0 * vy) = 900
-6875 - 3 * (x0 * vx + y0 * vy) = 900
x0 * vx + y0 * vy = - 7775/3
Значить (vx) ^ 2 + (vy) ^ 2 = -1875 + 7775/3 = 2150/3
Підставами в s '(t):
-7775/3 + 2150/3 * t = 0
t = 7775/2150 = 311/86
s (t) = (x0 + vx * 311/86) ^ 2 + (y0 + vy * 311/86) ^ 2 =
= (X0) ^ 2 + 311/43 * x0 * vx + (311/86) ^ 2 * (vx) ^ 2 +
= 10000 - 311/43 * 7775/3 + (311/86) ^ 2 * 2150/3 =
тут пора вже спрощувати:
= 627,81
Мінімальна відстань = (627,81) ^ 0.5 = 25,05 метра
На жаль не зрозумів рішення leom, але це мінус тільки мені. Постараюся розібратися сам.
Очевидно, що суду рухаються з різною швидкістю і одне з них першим досягне точки перетину курсів (ТПК). Відстань між ними в цей момент і буде дистанцією на розбіжність.
Ми маємо три трикутника і три графіка кіл різного радіусу, намальованих з одного центру. Так ми рішення в житті не отримаємо. Спробую по іншому.
На малюнку два судна на перпендикулярних курсах. "а" і "в", Не визначені умовою, відстані. "Х" і "Y" відстань пройдені за одну годину. Вони ж чисельно рівні швидкості цих судів. Виходить така система.
Тут явно не вистачає одного рівняння, яке зв'язало б параметри осі Х і Y
Але всі умови задачі вже є в рівняннях.
Спробую вирішити задачу чисельно логічним способом. Перепишемо систему в такий спосіб.
З трикутника (а; в; 30) очевидно, що "а" може приймати значення від нуля до 30, хоча граничні величини умовні. при "а" рівному нулю виходить такий графік:
Ліва точка перетину кіл завжди буде знаходитися в негативній зоні, тому ми її ігноруємо. Права точка визначила швидкості судів. При збільшенні параметра "а" виходить цікаво.
Виявляється при значенні "а"= 16,49817937 ігрек і швидкість другого судна дорівнюють нулю. При подальшому збільшення "а" втрачається фізичний зміст. Тобто, для даних геометричних побудов існує безліч варіантів в результаті яких точка перетину двох кіл "подорожує" згідно з графіком.
Уявімо собі, що у нас все таки є додаткова умова Х / Y = 3
До речі, перший малюнок намальований в масштабі для цього співвідношення.
Воно зафіксує точку і можна буде обчислити дистанцію.
"D" це дистанція між судами (судно Х завжди приходить першим в ТПК). І тут правомірна така думка. Якщо на море на перпендикулярних курсах рухаються два судна, то завжди існує співвідношення швидкостей при якому вони зустрінуться в ТПК. І якщо уникати цієї величини, то зіткнення не відбудеться. Але в нашому випадку так не виходить. Дана математична модель нагадує осине гніздо. Варто тільки потривожити одну Оську, як ....... Як дуже специфічним чином змінюють значення все величини і нейтралізують твоє дію. Так при збільшенні швидкості автоматично збільшується видалення судна і воно прийде в ТПК як йому і задумано. Тобто система "живе" своїм життям, намагаючись залишатися в певних рамках.
Спробуємо визначити ці рамки.
Позначимо Х / Y = Кs
При Кs = 1.51 "а" дорівнюватиме нулю. Це означає, що гіпотенуза прийме вертикальне положення і "в" дорівнюватиме 30. А оскільки це є видалення між судами, то судно "Х" в цей момент буде в ТПК. А значить дистанція між ними дорівнює 30 кілометрам. І це максимальне значення.
При Кs = нескінченності ігрек дорівнює нулю, значить D = Ly, а Ly = в, яке в свою чергу так само:
Це буде мінімальним відстанню в кілометрах.
Трохи прояснилося рішення leom. Прирівнюючи похідну від переміщення до нуля, він прямо або побічно використовував екстремум функції.
Для очищення совісті, наведу кілька табличних значень
І так, Що ми маємо?
При будь-яких параметрах, які відповідають умові завдання, дистанція між судами буде змінюватися в діапазоні від 30 до 25 кілометрів.
Завдяки винятковій гуманності автора, навіть з дуже не фаховими капітанами, суду не мають анінайменшої можливості до зіткнення. Сьогодні на море обійдеться без жертв. Ну от і добре!
Малюємо картинку і складаємо на її основі систему рівнянь.
(3x + z) ^ 2 + y ^ 2 = 100 ^ 2
(X + z) ^ 2 + y ^ 2 = 50 ^ 2
z ^ 2 + y ^ 2 = 30 ^ 2
Вирішуємо цю простеньку систему рівнянь щодо y, отримуємо відстань, на якому судна пропливуть один від одного.
Якщо їх курси одна лінія і не зіткнуться, то чи не пропливуть, а зупиняться. Якщо курси не перетинаються, то не зіткнуться.
Якось не коректно задана задача.
Ось я згоден з alexm12. Як вимірюється відстань між лайнерами?
По прямій, по якій вони рухаються назустріч один одному? Тоді вони зіткнуться.
За перпендикулярної прямої між їх курсами? Тоді, напевно, правильне рішення у leom.
Хоча воно важке і заплутане, я в ньому не розібрався.
По найкоротшій прямій між ними? Тоді, може бути, рішення якесь ще, якого ніхто не написав, і я не знаю.
Добавить комментарий