Завдання. Є бочка з краном внизу. На скільки швидше витече перша …?

Перш за все питання неправильний. Результат буде сильно залежати від форми бочки і розташування (горизонтальне або вертикальне). далі, "на скільки" буде залежати і від обсягу бочки і від перетину отвору для закінчення.

Конкретизуємо завдання. Нехай буде ідеальна циліндрична бочка з вертикальним розташуванням осі циліндра з площею поперечного перерізу (S) і висотою (H). Обсяг бочки V = S * H. І нехай потрібно визначити, у скільки разів верхня половина бочки витече швидше нижньої половини.

Швидкість витікання пропорційна v (h). т. е. dV / dt = k * v (h), де k - деякий коефіцієнт пропорційності (для вирішення даного завдання ні його природа на величина не мають значення), а h - поточна висота рівня рідини. Так як поперечний переріз бочки (S), постійно, то dV = S * dh, тоді S * dh / dt = k * v (h). Перетворимо. dh / dt = (k / S) * v (h), dh / v (h) = (k / S) * dt, після інтегрування отримаємо:

(K / S) * t = 2 * v (h), t = (2 * S / k) * v (h).

Отже час витікання повної бочки tп = (2 * S / k) * v (H), час витікання другий (нижній) половини бочки tн = (2 * S / k) * v (H / 2), Час витікання першої (верхньої ) половини бочки tв = (2 * S / k) * (v (H) -v (H / 2)), відношення часів tн / t в = ((2 * S / k) * v (H / 2)) / ((2 * S / k) * (v (H) -v (H / 2))) = (1 / v (2)) / (1-1 / v (2) = 1 / (v (2) -1), приблизно в 2, 5 рази. при горизонтальному розташуванні бочки або навіть вертикальному, але з нерівномірною площею поперечного перерізу завдання, значно ускладнюється, але в будь-якому випадку при чітко заданих умовах може бути однозначно вирішена.