Як правильно писати: подвиньтесь або підгвинтити?

Правильно: подвиньтесь. В даному випадку м'який знак є граматичним, він позначає наказовий спосіб дієслова (а не м'якість звуку Н):

по / Двіна - по / Двіна / ті - по / Двіна / ті / сь, ТІ - закінчення мн. числа.

Хоча звук Н звучить м'яко, але зазвичай в поєднаннях НТ він не пишеться, порівняти: бант - бантик, у Н тут невласна м'якість (на нього впливає м'який звук Т), і таке фонетичне чергування на листі НЕ позначається.