Як поділити відрізок на три рівні частини тільки за допомогою циркуля?

Текстовий опис рішення: 1) будуємо подвоєний і втричі більший відрізок, 2) з кінців вихідного відрізка проводимо дві дуги потроєною довжини, щоб вони перетнулися між собою, 3) з кінців вихідного відрізка проводимо дві дуги подвоєної довжини, приблизно на умовній лінії що з'єднує кінці відрізка і точку перетину з кроку 2, 4) з точки перетину з кроку 2 проводимо дугу радіусом в розмір відрізка ця дуга каснется двох дуг з кроку 3. 5) відстань між точками з кроку чотири є 1/3 від вихідного відрізка, беремо його і на вихідному відрізку робимо Зачек. Завдання вирішена.

Я поки навів рішення без доказів, проміжних викладок і побудов, якщо буде що незрозуміло пишіть розпишу докладно.

PS даним методом можна ділити відрізок одним циркулем на будь-яку кількість частин. Так як я не зміг знайти в інеті запропоноване мною рішення, то хочу без зайвої скромності закріпити за собою авторство такого способу. 29.03.2014 18:55 МСК

Крім циркуля нам знадобляться лінійка без поділів для проведення прямих ліній і ручка для того, щоб креслити ці лінії. Відзначаємо на папері 2 точки А і В і проводимо через ці точки пряму лінію. На цій прямій лінії маємо відрізок довжиною АВ. За допомогою циркуля креслимо коло радіусом рівним АВ з центром в точці А. Тобто коло проходить через точку В. Потім креслимо другу таку ж коло радіусом АВ, але з центром в точці В. Ця окружність проходить через точку А. Ці наші кола перетинаються в двох точках С і Д. Проводимо пряму лінію СД. Ця лінія перетинає відрізок АВ в точці Е. Лінія СД перпендикулярна АВ і ділить наш відрізок АВ навпіл. Тобто АЕ = ЕВ. Так можна за допомогою циркуля розділити будь-який відрізок навпіл. Але нам треба на 3 частини. Візьмемо лінію РЄ. На середину цього відрізка ставимо крапку Ф. (Як ділити відрізок навпіл, ми вже знаємо). Через точку Ф проводимо окружність з центром в точці А. І ще таку ж окружність через точку Ф, але з центром в точці В. Точки перетину цих кіл з нашим відрізком АВ ділять відрізок АВ на 3 рівні частини.

А як обійтися без лінійки і ручки, я поки не знаю.

У питанні не обмовляється точність ділення, значить допускається наближене розподіл. Такий поділ без всяких побудов можна виконати методом послідовних наближень. Але автор припускає геометричну побудову. Я пропоную наступне побудова. 1) креслимо першу окружність з центром в точці А чи В радіусом рівним довжині відрізка АВ, наприклад з центром в точці В; 2) креслимо дугу другий окружності з центром в точці А тим же радіусом АВ до перетину з першою окружністю і отримуємо точку Т і Т1; 3) креслимо дугу третьої окружності з центром Т дотичну до АВ і отримуємо точку дотику Е, яка розділить АВ надвоє (АЕ = 1 / 2АВ); 4) аналогічним чином ділимо АЕ надвоє і отримуємо точку К (АК = 1 / 4АВ); 5) креслимо дугу окружності з центром в точці В радіусом ВК до перетину з першою окружністю і отримуємо точку М; 6) креслимо дугу окружності з центром в точці М дотичну до АВ і отримуємо точку дотику С, АС буде приблизно дорівнює 1/3 АВ і відкладаємо СD рівний АС.

Ділимо відрізок AB на 4 частини *. Далі малюємо відрізок AC рівний 3/4 від початкового відрізка так, щоб він починався з точки початкового A і щоб він лежав на одній прямій з ним. Далі відзначаємо на другому відрізку AC дві точки D і E, які поділять його на 3 частини *. Кінець другого відрізка з'єднуємо з кінцем першого відрізком BC. Далі проводимо через точки D і E дві прямі, паралельні відрізку BC *. Вони поділять відрізок AB на 3 рівних відрізка відповідно до теореми Фалеса.

Зірочкою * відмічені тривіальні завдання, які надто довго пояснювати, але додуматися до яких можна швидко і самому.

Що ж стосується креслення прямих, то у мене рука тверда, прокреслити можу і без лінійки. Ну або за допомогою нескінченного циркуля, що теж є тривіальним завданням.

Якщо дано відрізок, то циркулем з кінців відрізка проведіть зарубки, радіусом рівним довжині відрізка і отриману точку з'єднайте з кінцями відрізків - у Вас вийде трикутник зі стороною, що дорівнює довжині відрізка. З кінця двох вершин даного Трикутник проведіть медіани до сторін трикутника (за допомогою циркуля це легко зробити, адже медіани перпендикулярні будуть сторонам). Медіна ділиться в пропорції 1: 2 - те, що треба. З точки перехрещення медиан проведіть пряму, паралельну стороні створеного трикутника, вона пропорційно розділить сторону відрізка на одну третину, що нам і потрібно.

Зацікавилася завданням. тільки про рішення задачі без лінійки і слухати не хочу. Сподобалося рішення по простоті у Katar. простіше і бути не може. Нехай цей відріз ВМ. Відновимо до нього перпен-ляр до т. М. відомим методом. і від нього по різні боки відкладемо циркулем МА = МС. отримаємо тр-ник АВС. Проведемо медіани АМ1 і СМ2.Т. Про пересченія всіх медіан ділить відрізок ВМ на ОМ = 1 \ 3 ВМ і ОВ = 2 \ 3 ВМ. Відкладемо циркулем ОО1 = МО і О1В = О1О = ОМ-3 рівних відрізка. Есто ще один спосіб теж простий-но з лінійкою!

Таку операцію можна виконати методом послідовних наближень, з нескінченної точністю за нескінченної кількості дій. Алгоритм: Початковий розчин циркуля беремо менше довжини відрізка і пробуємо укласти даний розчин три рази в довжину відрізка, з подальшим коригуванням в плюс або мінус величини розчину циркуля.

хм, треба подумоть, ось якщо-б був малюнок, а так не дуже зрозуміло. не знаю