Як проинтегрировать по частинах?

При інтегруванні частинами потрібно функцію розділити на добуток двох, u = тієї, яка при інтегруванні спрощується, або тієї, яку інтегрувати складніше. Зазвичай u - це многочлен, якщо він є в інтегралі.

Формула така: Int u dv = u * v - Int v du

1) Int x * e ^ (4x) dx

Тут вигідно позбутися x, тому що незрозуміло, як інтегрувати твір, а просто e ^ (4x) - легко.

u = x, dv = e ^ (4x) dx, du = dx, v = 1/4 * e ^ (4x)

Int = x / 4 * e ^ (4x) - Int (1/4 * e ^ (4x) dx) = x / 4 * e ^ (4x) - 1/16 * e ^ (4x)

2) Int arcsin (9x) dx

Тут діватися нікуди, u = arcsin (9x), тому що інших функцій у нас немає.

u = arcsin (9x), dv = dx, du = 9 / v (1 - 81x ^ 2) dx, v = x

Int = x * arcsin (9x) - Int (9x) / v (1 - 81x ^ 2) dx

Тут має сенс застосувати заміну, 1 - 81x ^ 2 = y, dy = -162x dx, тому 9x dx = -dy / 18

Int = x * arcsin (9x) + 1/18 * Int dy / vy = x * arcsin (9x) + 1/18 * Int y ^ (- 1/2) dy = x * arcsin (9x) + 1/18 * (- 2) * y ^ (1/2) = x * arcsin (9x) - 1/9 * v (1-81x ^ 2) + C

3) Int (x ^ 3-2x) * ln (3x) dx

Тут, як і в першому, u = многочлену

u = x ^ 3 - 2x, dv = ln (3x) dx, du = (3x ^ 2 - 2) dx, v = 1 / x

Int = (x ^ 3 - 2x) / x - Int (3x ^ 2 - 2) / x dx = x ^ 2 - 2 - Int (3x) dx + Int (2 / x) dx = x ^ 2 - 2 - 3x ^ 2/2 + 2ln | x | + C

4) Int cos (ln 2x) dx

Тут, як в номері 2

u = cos (ln 2x), dv = dx, du = sin (ln 2x) * 1 / x dx, v = x

Int = cos (ln 2x) * x - Int x * sin (ln 2x) * 1 / x dx = cos (ln 2x) * x - Int sin (ln 2x) dx

Новий інтеграл такої ж незрозумілий, як старий, тому беремо знову по частинах.

u = sin (ln 2x), dv = dx, du = -cos (ln 2x) * 1 / x dx, v = x

Int cos (ln 2x) dx = cos (ln 2x) * x - sin (ln 2x) * x + Int x * cos (ln 2x) * 1 / x dx = cos (ln 2x) * x - sin (ln 2x ) * x - Int cos (ln 2x) dx

Вийшло цікаве рівняння:

Int cos (ln 2x) dx = cos (ln 2x) * x - sin (ln 2x) * x - Int cos (ln 2x) dx

Звідси

2 * Int cos (ln 2x) dx = cos (ln 2x) * x - sin (ln 2x) * x

Тому

Int cos (ln 2x) dx = x / 2 * (cos (ln 2x) - sin (ln 2x))

5) Int (x ^ 2-2x-1) * e ^ x dx

Тут знову, як в 1

u = x ^ 2-2x-1, dv = e ^ x dx, du = 2x-2 dx, v = e ^ x

Int = (x ^ 2-2x-1) * e ^ x - Int (2x-2) * e ^ x dx

Спростили, але не зовсім, доведеться вдруге по частинах брати

u = 2x-2, dv = e ^ x dx, du = 2dx, v = e ^ x

Int = (x ^ 2-2x-1) * e ^ x - (2x-2) * e ^ x + Int 2e ^ x dx = e ^ x * (x ^ 2-4x + 1) + 2 e ^ x + C = e ^ x * (x ^ 2-4x + 3) + C

6) Int ln ((1-x) / (1 + x)) dx

Знову, як в номерах 2 і 4, функція тільки одна.

u = ln ((1-x) / (1 + x)), dv = dx, du = (1 + x) / (1-x) * (- (1 + x) - (1-x)) / (1 + x) ^ 2 dx, v = x

Int = x * ln ((1-x) / (1 + x)) - Int x * (- 1-x-1 + x) / ((1-x) (1 + x)) dx = x * ln ((1-x) / (1 + x)) + 2 * Int x / ((1-x) (1 + x)) dx

Останній інтеграл потрібно брати методом невизначених коефіцієнтів.

x / ((1-x) (1 + x)) = A / (1-x) + B / (1 + x) = (A (1 + x) + B (1-x)) / ((1 -x) (1 + x)) = (x (AB) + (A + B)) / ((1-x) (1 + x))

система

{A - B = 1

{A + B = 0

Звідси

A = 1/2; B = -1/2

Int = x * ln ((1-x) / (1 + x)) + 2 * Int (A / (1-x) + B / (1 + x)) dx = x * ln ((1-x) / (1 + x)) + Int (1 / (1-x) - 1 / (1 + x)) + C =

= X * ln ((1-x) / (1 + x)) + ln (1-x) - ln (1 + x) + C = x * ln ((1-x) / (1 + x)) + ln ((1-x) / (1 + x)) = ln ((1-x) / (1 + x)) * (x - 1) + C