Який час займе вільне падіння від поверхні Землі до її центру?



+4 +/-

Якби, звичайно-це було б можливо. Питання поставлено для того, щоб ті хто його прочитали і дізналися відповідь, зрозуміли наскільки ж величезна наша планета)))

Профіль користувача Skinners Запитав: Skinners  (рейтинг 24318) Категорія: Навчання

Відповідей: 3

2 +/-
Найкраща відповідь

Завдання це більш складна, ніж рішення, наведене в попередній відповіді. Там прискорення вільного падіння g = 9,81 м / (с ^ 2) = const вважається постійним. Але так можна приблизно вважати, якщо відстань від поверхні Землі до кинутого предмета h багато менше радіуса Землі R = 6371,302 км = 6,371 * 10 ^ 6 м. Куди б ми предмет не кидали, вгору або вниз в тунель до центру Землі. А чому дорівнює прискорення вільного падіння g в глибині Землі? Яка сила діє на предмет, що знаходиться на відстані r від центру Землі? На тіло діє тільки сила тієї частини Землі, яка знаходиться нижче предмета. Тобто начебто радіус Землі дорівнює r. Вся оболонка Землі, що знаходиться вище ніж r ніякої сили, що діє на предмет, не створює. Точніше сума всіх сил дорівнює нулю. Нам зручно вважати g = 9,81 = const, а прискорення тіла на відстані r від центру Землі позначимо знайомої буквою а.

Прискорення «а» є перша похідна від швидкості руху кульки V, а = dV / dt. Або dV = adt. При а = const після інтегрування отримаємо знайоме вираз для швидкості V = V0 + at, де V0 - початкова швидкість. Але у нас прискорення «а» залежить від відстані до центру Землі r

a = g (r / R) (1)

тоді маємо

dV / dt = a = g (r / R) (2)

Але V = dS / dt, де S - відстань, пройдену тілом, тобто відлік шляху S ми ведемо від поверхні Землі. Тоді dV / dt = S ", де S" - друга похідна від S за часом. Рівняння (2) зводиться до вигляду S "= g (r / R). Але нам зручніше відраховувати відстань немає від поверхні Землі S, а від центру Землі r = R - S. Тоді отримаємо таке диференціальне рівняння другого порядку для r

r "+ r (g / R) = 0 (3)

А це, якщо ви пам'ятаєте, є диференціальне рівняння для коливального процесу. Математика нам дає, що рішенням рівняння (3) буде

r = Acoskt + Bsinkt (4)

де А, В і k - деякі постійні, причому k = sgrt (g / R). Використовуємо початкова умова, що при t = 0, r = R, А = R і В = 0. Тоді з (3) маємо таку відповідь для залежності відстані тіла від центру Землі від часу.

r = Rcoskt = Rcos [sqrt (g / R) * t] (5)

де r - відстань від центру Землі. Нагадаємо, що якщо ж відраховувати відстань від поверхні Землі у, то рішення буде таким

у = Rsinkt = Rsin [sqrt (g / R) * t] (6)

Це рішення таке ж, як і при коливальному русі маятника. Отже, як же рухається тіло, опущене в тунель, проритий наскрізь через центр Землі? Воно здійснює коливальні рухи. Спочатку воно падає вниз з прискоренням «а». Але, пройшовши через центр Землі, починає підйом до протилежної сторони Землі. Висунувшись назовні з нульовою швидкістю, знову падає «вниз» до центру Землі.

Скільки часу тіло падає до центру Землі? Якщо r = R або у = 0, використовуємо рівняння (5) або (6). З (6) при у = 0 отримуємо sin [sqrt (g / R) * t] = 0, тоді sqrt (g / R) * t = Пі, де Пі (грецька буква Пі) Пі = 3,14. Звідси час падіння до центру Землі

t = Пі * sqrt (R / g) (7)

Розрахуємо цей час падіння t = 3,14 * sqrt (6371000 / 9,81) = 3,14 * sqrt (649400) = 3,14 * 805 = 2528 c. Це буде 42 хвилини. Отже, тіло досягає центру Землі через 42 хвилини. Повний період коливань, коли тіло повернеться назад в ту точку, звідки його скинули вниз, буде дорівнює 168 хвилин або 2 години і 48 хвилин. Так що почекайте такий час і тіло повернеться назад до вас. Якщо ви його не встигнете схопити, воно знову буде падати в тунель.

Звичайно, насправді все буде по-іншому. Через опір повітря коливання будуть затухаючими і тіло рано чи пізно зупинитися в центрі Землі. Але і це не все. При киданні тіла вниз воно ще має швидкість поперек тунелю (паралельно поверхні Землі), що дорівнює лінійної швидкості обертання Землі біля поверхні. Так що тунель довелося б рити криво (а не прямо вниз до центру Землі). Тому найкраще прорити тунель від північного полюса до південного полюса. Але на глибинах від 15 до 35 км - рідка і гаряча магма. Та й земну кулю ми вважали однорідним за щільністю. У центрі Землі дуже важке металеве ядро ​​радіусом близько 3 км. Тому точний розрахунок дає, що спочатку тіло буде падати з прискоренням, а при вході усередину цього ядра буде рухатися з сильним гальмуванням.

Відповів на питання: Robling  
2 +/-

Очевидно, що падіння від поверхні до центру планети рівносильно падіння на відстань, рівну її радіусу.

Візьмемо для завдання середній радіус Землі - він дорівнює 6371,302 км.

Прискорення вільного падіння візьмемо стандартне, на широті 45,5 ° на рівні моря. Воно дорівнює 9,80665 м / (c ^ 2).

дано:

s = 6371,302 км

g = 9,80665 м / (с ^ 2)

t -?

Рішення:

1) Для початку переведемо всі дані в систему СІ.

s = 6371,302 км = 6371302 м.

Прискорення вже дано в системі СІ.

2) Ми знаємо формулу для знаходження пройденої відстані при вільному падінні без початковій швидкості: s = gt ^ 2/2.

Звідси ми можемо висловити час:

t = sqrt (2s / g).

3) Підставляємо в отриману формулу чисельні дані:

t = sqrt (2s / g) = sqrt {2 * 6371302 м / [9,80665 м / (с ^ 2)]} = 1139,9 с = ок. 19 хв.

Падіння від поверхні Землі до її центру займе приблизно 19 хвилин.

Відповів на питання: Toolshed  
1 +/-

Відповідь Алекса принципово невірним. Рух в цьому випадку не є рухом з постійним прискоренням - прискорення тут пропорційно відстані до центру Землі. Точний розрахунок дає близько 30 хвилин - рівно чверть повного обороту навколо Землі низколетящего супутника.

Відповів на питання: Reifert